符号思想
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。
化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。它的基本原则是：化难为易，化生为熟，化繁为简。
转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。对问题进行转换时，既可转换已知条件，也可转换问题的结论。用转换思想来解决数学问题，转换仅是第一步，第二步要对转换后的问题进行求解，第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。
类比思想
数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力。
归纳思想
在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。在解决数学问题时运用归纳思想，既可发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。
化归思想 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想 这也是辩证唯物主义的基本观点。 例1 鸡兔同笼：笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？ 分析 化归的实质是不断变更问题，这里可以先对已知成分进行变形。每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起两只前脚（呈玉兔拜月状）。那么，笼中仍有头50，而脚只剩下70只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等;有一头兔，就多出一只脚，现在有头50，有足70，这就说明有兔20只，有鸡30只。
所谓“化归”，就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通
过某种转化过程， 归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解
答返回去求得原问题甲的解答，这就是 化归方法的基本思想。
化归方法的要素：
化归对象，即对什么东西进行化归；化归目标，即化归到何处去；化归途径，即如何进
行化归。下举例说 明如何在教学中应用这一思想。
一、有关几何图形教学的应用
例1：下图中小正方形的边长是4厘米，大正方形的边长是8厘米求阴影部分的面积。
阴景部分不规则图形是化归的对象，三角形是化归的目标。
（附图 {图}）
图一中旋转法（旋转成一个大的直角三角形）是实施化归的途径。
图二中分割法（分割成两个钝角三角形）是实施化归的途径。
对于图三，长方形是化归的目标，补整法（补成一个大的长方形，然后去掉一个大的直
角三角形、一个小 的正方形、一个等腰直角三角形）是实施化归的途径。
平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的推导，都是根据化归思想进行教学的，它们
的化归过程简单地 图示如下：
（附图 {图}）
平行四边形通过割补化归成长方形，平行四边形是化归的对象，长方形是化归的目标，
割补法是化归的途 径。
三角形是化归的对象，平行四边形是化归的目标，两个完全一样的三角形拼成平行四边
形是实施化归的途 径。
梯形是化归的对象，三角形是化归的目标，旋转法是实施化归的途径。
在这里长方形面积的计算方法是平行四边形面积计算方法的已有知识；平行四边形面积
的计算方法是三角 形面积计算的已有知识；三角形面积的计算方法是梯形面积计算方法的
已有知识；前一种平面几何图形面积计 算方法是后一种面积计算的基础；后一种平面图形
面积计算需化归为前一种学生熟悉的图形，从而使问题得到 解决。
（附图 {图}）
例2：下图阴影部分是梯形，左面长方形的长为3厘米，宽为4厘米，A点为宽的中点，
求阴影部分的面 积。
（附图 {图}）
图中梯形（阴影部分）的上底、下底和高都不知道，阴影部分梯形面积是化归的对象，
左面长方形中的一 个直角梯形面积是化归的目标，同底等高的长方形面积与平行四边形面
积相等是实施化归的途径。同时去掉图 形甲得阴影部分面积，等于直角梯形的面积。
S〔，阴〕＝（4＋4÷2）×3÷2＝9（平方厘米），将面积计算公式应用于实际
问题。图一为已知 的不规则图形。不规则图形为化归的对象；图二长方形为化归的目标；
通过左右平移、上下平移是实施化归的 途径。此题可以化归成长方形的周长来进行计算。
上述几个例子借助“割”“补”“转移”“取特殊位置”等方法可将一般的几何图形化归
成特殊的学生已 学过的熟悉的几何图形，从而使得求面积、周长等变得更容易解决。
二、有关计算教学中的应用
例1：计算48×53＋47×48
机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。将48这一数化归成物，
即看到了相同的数 48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数48，相同的数48
是化归的对象，红富士苹果是实施化归 的途径，于是48×53＋47×48就转化成求
53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。
48×53＋47×48＝48×（53＋57）＝48×100＝4800，得到问
题的解决。
例2：解方程5X－X＝4
X是化归的对象，把未知数X化归成物红富士苹果，红富士苹果是实施化归的途径，于
是方程5X－X＝ 4转化为5个苹果－1个苹果＝4的问题是化归的目标。
5X－X＝4 得4X＝4 X＝4÷4 X＝1
通过以中的红富士苹果代替抽象的字母X，问题得以解决，同时学生对字母表示数
从广义上得以理解 。
教学正负数加减法运算是教材的重点和难点，学生对：“（1）同号两数相加，取原来的
符号，并把绝对 值相加，（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，较大的绝对值
减去较小的绝对值”。不容易真正 理解和掌握，原因是“绝对值”的概念及名词对小学生来
说是陌生的。
在教学中把正数、负数的绝对值转化为正数来考虑，正负数相加时先确定符号，然后再
化归为两个正数之 间的运算。
（1）同号两数相加，符号不变（即取原来加数的符号），看作两个正数相加（即并把
绝对值相加）。
（2）异号两数相加，符号从大（即指绝对值较大的加数的符号），看作两个正数大减
小（即较大的绝对 值减去减小的绝对值）。
在这里“X绝对值”是化归的对象，正数是实施化归的途径，两个正数相加以及大的正
数减去小的正数是 化归的目标。
由于学生对两个正数相加及正数中大数减小数是已掌握的知识，然后返回去熟悉理解
“绝对值”的概念， 这样有利于学生对正负数加减运算的真正掌握。
三、有关应用题教学中的应用
例1：学校买了3只篮球和5只足球共付164．9元，已知买1只篮球和2只足球共
需60．2元，问 买1只篮球和1只足球各需多少元？
解法一：1只篮球和2只足球共需60．2元为化归的对象，把1只篮球和2只足球作
为1份数是实施化 归的途径，3份数：3只篮球和6只足球的价格为（60．2×3）元
是化归的目标，与3只篮球和5只足球 的价格为164．9元进行比较，相差数为1只足
球，得1只足球的价格为（60．2×3－164．9）元 。
解法二：设1只足球价格为X元，则1只篮球价格为（60．2－2X）元
根据题意列方程得 3（60．2－2X）＋5X＝164．9
这类问题中，求两个未知数X，Y的其中一个未知数为化归的对象，一元一次方程是化
归的目标，把一个 未知数用另一个未知数的数量关系来表示是实施化归的途径。
本题中未知数1只篮球价格为化归的对象，一元一次方程3（60．2－2X）＋5X
＝164．9是化 归的目标，1只篮球的价格用60．2元减去2只足球的价格来表示是
实施化归的途径。
化归思想的实质，是将新问题转化为已掌握的旧知识，然后进一步理解并解决新问题。
化归原则：
（1）熟悉化原则，如果能将待解决的陌生问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以充
分调动已知的知识 和经验用于面临的新问题，从而有利于问题的解决。
（2）简单原则：若能将一个复杂的问题化归为比较简单的问题，则问题会更容易得到
解决，通过分类、 讨论、割补、特殊化、换元等具体方法亦可使问题变得更简单。
