所谓的第一次数学危机
指的是无理数的发现（不可通约性的发现），引起了“逻辑上的矛盾”，许多当时的数学家都无法解释，
在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，造成了所谓的第一次数学危机
其实，无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑
第一次数学危机是怎样解决的呢？
面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满，第一次数学危机也得以解决
非欧几何学也由此诞生……
第一，希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。
第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。
第三，罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！
中文名
数学三大危机
外文名
Three crises in Mathematics
第一次
发现了根号2，推翻“万物皆数”
第二次
微积分概念的合理性遭到严重质疑
第三次
集合论中的罗素悖论
第一次数学危机
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
古希腊哲学家毕达哥拉斯
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生。小小? 的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的? 的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机
出现
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
解决
经过柯西（微积分收官人）用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！
第三次数学危机
出现
十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
解决
排除悖论
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
公理化集合系统
成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
在数学的发展史上，一共发生过三次危机，它们涉及无理数、微积分和集合等数学概念，有的甚至推翻了著名的数学理论，引起轰动。
第一次危机，关于希帕苏斯和毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯是公元前5世纪著名的数学家和哲学家，他创立了以?万物皆数?为哲学基石的毕达哥拉斯学派。在毕达哥拉斯学派，他们的数学信仰就是?一切数均可表示成整数或整数之比?，可当希帕苏斯出现后，一切都改变了。
希帕苏斯是毕达哥拉斯学派的一员，有一天，他正在思考?边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?这一问题时，发现这一长度不能用整数和分数来表示，只能用一个全新的数来表示，从而发现了第一个无理数。
第一个无理数的发现，在当时的数学家引起轩然大波，它直接推翻了毕达哥拉斯的著名理论，还极大冲击了当时希腊人的普遍观念，更糟糕的是，希腊人对此毫无办法，这就直接导致了当时的认识危机。
对于这次的风波，因为其影响重大，被称作?第一次数学危机?，而第二次数学危机的出现，则是源于微积分工具的使用。
随着当时社会生产力的发展，人类在科学实践上认识的提高，17世纪的微积分被牛顿和莱布尼兹共同发现。微积分的问世，让许多疑难问题变得迎刃而解，不过因为牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论并不完善，所以也使得微积分一直被某些人反对与抨击，其中以英国大主教贝克莱为主要代表。
他们抨击牛顿和莱布尼兹的微积分理论虽然是建立在无穷小的分析上，但是他们对无穷小量的理解与运用却十分混乱，这种对微积分合理性的抨击和质疑，使得整个微积分理论险些被推翻。
幸运的是，柯西站了出来，并用极限的方法对无穷小量进行了定义，这才使得微积分理论得以完善，从而继续发展下去。
时间来到19世纪，数学家康托尔创立了著名的集合理论，这个新生的理论刚刚诞生，便受到了很多人的猛烈攻击，但不久后，这一理论就被许多数学家所接受，因为他们发现从自然数与康托尔集合论出发科员建立起整个数学大厦。
于是，集合理论成为了现代数学的基石，并受到许多数学家的推崇。然而好景不长，1903年英国数学家罗素提出了他的悖论，并称集合论是有漏洞的，震惊了整个数学界。
在罗素的悖论中，他构建了一个S，并提出如果S由一切不是自身元素的集合所组成，那S还包含S吗？这个看似合理的问题，却让回答者陷入两难的境地，如果S属于S，那根据S的定义，S就不属于S。而S就不属于S的话，根据定义，S就属于S。
浅显易懂的罗素悖论一经问世，便在数学界和逻辑学界引起震动，而因此引发的巨大反响更是造就了这场第三次的数学危机。
危机出现后，数学家积极提出解决方案，最终在1908年，策梅罗提出第一个公理化集合论体系，后来又经其他数学家改进，称其为ZF系统，这才在很大程度上弥补了康托尔集合理论的缺陷。当悖论被成功排除，这第三次数学危机才算得到圆满解决。
事实上，三次发生在数学界的危机，看似险些推翻了常识性的数学理论认知，给当时造成巨大影响，可实际上三次数学危机却变相地推动着数学的发展与进步，给予数学界新的活力与生机。
